Tentukan nilai dari: sec² 9° + sec² 27° + sec² 63° + sec² 81°

Sudut relasi :
sin (90° - x) = cos x
sec (90° - x) = cosec x
tan (90° - x) = cot x

sec² 9° + sec² 27° + sec² 63° + sec² 81°
= sec² 9° + sec² 27° + sec² (90° - 27°) + sec² (90° - 9°)
= sec² 9° + sec² 27° + cosec² 27° + cosec² 9°
= sec² 9° + cosec² 9° + sec² 27° + cosec² 27°

= 1/(cos² 9°) + 1/(sin² 9°) + 1/(cos² 27°) + 1/(sin² 27°)

= (sin² 9° + cos² 9°)/(cos² 9° sin² 9°) + (sin²27° + cos²27°)/(cos²27° sin²27°)

= 1/(sin 9° cos 9°)² + 1/(sin 27° cos 27°)²

= 1/(1/2 sin 18°)² + 1/(1/2 sin 54°)²

= 1/(1/4 sin² 18°) + 1/(1/4 sin² 54°)

= 4/(sin² 18°) + 4/(sin² 54°)

= 4(sin² 54° + sin² 18°) / (sin² 54° sin² 18°)

Dilanjutkan di bawah !

cos 54° = sin 36°
cos (36° + 18°) = sin 36°
cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18° = sin 36°
(1 - 2 sin² 18°) cos 18° - (2 sin 18° cos 18°) sin 18° = 2 sin 18° cos 18°
cos 18° - 2 sin² 18° cos 18° - 2 sin² 18° cos 18° = 2 sin 18° cos 18°
1 - 2 sin² 18° - 2 sin² 18° = 2 sin 18°
1 - 4 sin² 18° = 2 sin 18°
0 = 4 sin² 18° + 2 sin 18° - 1
Dengan rumus ABC
sin 18° = (-b ± √(b² - 4ac)) /2a
= (-2 ± √(2² - 4(4(-1)) / 2(4)
= (-2 ± √(4 + 16)) / 8
= (-2 ± √20) / 8
= (-2 ± 2√5) / 8
= (-1 ± √5) / 4
Karena 18° dikuadran 1 maka
sin 18° = (-1 + √5)/4

sin² 18° = [(-1 + √5)/4]²
= (1 - 2√5 + 5) / 16
= (6 - 2√5) / 16
= (3 - √5) / 8

cos 36° = 1 - 2 sin² 18°
= 1 - 2 (3 - √5}/8
= 1 - (3 - √5)/4
= (4 - (3 - √5))/4
= (1 + √5)/4

sin² 54° = cos² 36°
= ((1 + √5)/4)²
= (1 + 2√5 + 5)/16
= (6 + 2√5)/16
= (3 + √5)/8

sin² 54° + sin² 18° = (3 + √5)/8 + (3 - √5)/8 = 6/8 = 3/4

sin² 54° sin² 18° = (3 + √5)/8 . (3 - √5)/8 = (9 - 5)/64 = 4/64 = 1/16

LANJUTAN JAWABAN
= 4(sin² 54° + sin² 18°) / (sin² 54° sin² 18°)

= 4(3/4) / (1/16)

= 3 (16/1)

= 48